Родился 26 мая в 1957 года в Москве.
Его отец Иван Иванович — доктор экономических наук. Сын пошел по стопам отца, поступил на экономический факультет МГУ. Уже на 3 курсе он стал преподавать экономическую историю и историю экономической мысли.
В 1985 году защитил кандидатскую диссертацию по экономике общинных отношений.
Спустя 10 лет педагогической работы в МГУ перешел в Институт экономики Академии наук СССР. В этом же году он вместе с другими учеными, занялся организацией альтернативной кафедры экономической теории в МФТИ.
В 1992 году вместе с Евгением Григорьевичем Ясиным разработал концепцию создания экономического вуза нового образца – Высшей школы экономики. Эта концепция легла в основу учебных программ университета.
С 1992 года и по настоящее время — ректор НИУ ВШЭ.
С первых дней работы ВШЭ, еще задолго до введения ЕГЭ, вуз обеспечивал прозрачность набора студентов.
«Мы стремимся быть открытым учебным заведением. В том смысле, что у нас нет ни родительского конкурса, ни «ректорского списка». Создатели и профессора Школы — люди, достаточно себя уважающие. И достаточно влиятельные, чтобы не прогибаться в ответ на начальственные звонки».
В 1997 году возглавил группу, разработавшую концепцию организационно-экономической реформы образования России на рыночных основах.
С 1999 года — член Совета Центра стратегических разработок и руководитель ряда направлений подготовки национальной стратегии, в том числе по развитию образования. Под руководством Ярослава Кузьминова и министра образования Владимира Филиппова подготовлен раздел «Модернизация образования» Программы Правительства России. Входил в Комиссию по разработке Национальной доктрины образования.
В 2001 году по инициативе Кузьминова создан Российский общественный совет развития образования. На базе РОСРО был сформирован Общественный экспертный совет по стандарту школьного образования, председателем которого стал Кузьминов.
С 2010 года под руководством Я.И. Кузьминова проводится мониторинг качества приема студентов в российские вузы.
Руководил (совместно с И.Фруминым и при участии Л. Овчаровой) подготовкой доклада Центра стратегических разработок и Высшей школы экономики «Двенадцать решений для нового образования», который лет в основу «майского» указа Президента РФ 2018 года, в котором, в частности, сформулированы цели и задачи развития системы образования до 2024 года.
Награжден Орденами «За заслуги перед Отечеством» III и IV степеней и Орденом Почета.